Szanowny Użytkowniku,

25 maja 2018 roku zaczyna obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. w sprawie ochrony osób fizycznych w związku z przetwarzaniem danych osobowych i w sprawie swobodnego przepływu takich danych oraz uchylenia dyrektywy 95/46/WE (określane jako „RODO”, „ORODO”, „GDPR” lub „Ogólne Rozporządzenie o Ochronie Danych”). W związku z tym informujemy, że wprowadziliśmy zmiany w Regulaminie Serwisu i Polityce Prywatności. Prosimy o poświęcenie kilku minut, aby się z nimi zapoznać. Możliwe jest to tutaj.

Rozumiem

Błogosławieni, którzy obstawili dobrze

Błogosławieni, którzy obstawili dobrze

28.12.2014
Czyta się kilka minut
U źródeł rachunku prawdopodobieństwa, jednej z najważniejszych teorii matematycznych, leżały praktyczne potrzeby i duchowe rozterki: pogoń za zyskiem w grach hazardowych oraz troska o zbawienie.
G

Gerolamo Cardano (1501-1576) był namiętnym hazardzistą. Studiował prawo i medycynę na uniwersytetach w Pawii i Padwie. Podczas studiów zarabiał stawianiem horoskopów, a także uczeniem geometrii i astronomii. I nierzadko również grami hazardowymi. A że w życiu różnie mu się powodziło, chętnie powracał do tego rodzaju zarobkowania. Wybierał gry losowe, w których wszyscy gracze mieli równe szanse, a nie takie, które wymagały jakiejś szczególnej strategii. Ponieważ wrodzony talent matematyczny pozwalał mu lepiej od innych oceniać szanse, przynosiło mu to całkiem wymierne dochody. Wynikiem tych doświadczeń stało się dziełko Liber de ludo aleae (Księga o grach losowych). Była to pierwsza w historii książka (w istocie zaledwie kilkanaście stron, ale sam autor nazwał ją księgą) na ten temat. Jest to właściwie zbiór szkiców, które Cardano sporządzał w ciągu wielu lat. Zostały one zebrane i wydane w jego Opera omnia dopiero w 1663 r., już po opublikowaniu słynnej korespondencji pomiędzy Pascalem a Fermatem, i to jest powodem, dla którego praca Cardana, choć historycznie pierwsza, nie miała większego znaczenia w dziejach rachunku prawdopodobieństwa.

Dziełko Cardana nie jest jednorodne. Obok rozważań – jakbyśmy dziś powiedzieli – probabilistycznych zawiera opisy ówczesnych gier hazardowych, niemal osobiste notatki i spostrzeżenia. Pewne fragmenty można odczytać jako próbę usprawiedliwienia hazardu (Cardano dość obszernie omawia pożytki, ale też niebezpieczeństwa oddawania się hazardowi), chociaż w książce jest też ustęp o tym, jak oszukiwać w grze. Ale podstawowym założeniem Cardana w jego analizach probabilistycznych jest to, że gra odbywa się na uczciwych zasadach. W przeciwnym razie nie można stosować matematycznych reguł przewidywania. Cardano szczegółowo rozważa gry polegające na rzucaniu dwu i trzech kostek. Zdaje sobie sprawę z tego, że kluczową rolę odgrywa stosunek wyników pomyślnych do wszystkich możliwych (ale nie nazywa tego prawdopodobieństwem), a jego analizy sprowadzają się do wyliczeń wszystkich możliwych wyników i obliczania ich częstości pojawiania się.

Analizę rzutów trzema kostkami (nie nawiązując jednak do Cardana) podjął Galileusz. Jego opiekun i mecenas, Wielki Książę Toskanii, polecił mu rozwiązać następujący problem: dlaczego w rzutach trzema kostkami suma dziesięciu oczek pojawia się częściej niż suma dziewięciu oczek? Książę musiał być bystrym obserwatorem, skoro zauważył tę niewielką różnicę w częstościach. Rozwiązanie tego „paradoksu” Galileusz opisał w krótkiej nocie Considerazione sopra il Giuoco dei Dadi (1718). Współczesny autor Leonard Mlodinow w następujący sposób wyjaśnia rozwiązanie znalezione przez Galileusza:

Gdy rzucamy kostką, wtedy każda liczba oczek od 1 do 6 pojawia się z jednakowym prawdopodobieństwem równym 1/6. Jednak gdy rzucamy dwukrotnie kostką do gry, wówczas różne sumy oczek wcale nie są równoprawdopodobne. Na przykład istnieje tylko jedna szansa na 36, że otrzymamy dwa oczka; prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 3, jest dwukrotnie wyższe. Powodem jest to, że sumę oczek 2 można otrzymać tylko na jeden sposób, wyrzucając dwie jedynki, natomiast sumę oczek 3 – na dwa sposoby, wyrzucając najpierw dwójkę, a potem jedynkę, albo najpierw jedynkę, a potem dwójkę (L. Mlodinow, Matematyka niepewności. Jak przypadki wpływają na nasz los).

Galileusz sam nie był hazardzistą i nad prawdopodobieństwem zastanawiał się tylko „na zamówienie”, ale raz puszczona w ruch ruletka obraca się dalej… Na szczęście wśród hazardzistów są tacy, którzy stawiają trudne pytania.

Geometria przypadku

Antoine Gombauld, Chevalier de Méré et Sieur de Baussay, był człowiekiem światowym i namiętnym hazardzistą. I miał przy tym w sobie coś z zacięcia matematyka, choć na pewno bardziej interesowała go strategia gry i szansa wygranej niż rozwiązywanie probabilistycznych zagadnień. Gdy podczas spotkania towarzyskiego poznał Pascala, przedstawił mu problem: oto toczy się gra w kości, ale niespodziewanie musi być przerwana. Jak podzielić stawki pomiędzy dwóch graczy, którzy nie mogą dokończyć partii? Pascal po zastanowieniu odpowiedział, że każdy z graczy powinien otrzymać sumę proporcjonalną do prawdopodobieństwa, że to on wygrałby partię, gdyby została doprowadzona do końca. Puszka Pandory została otwarta: Pascal nie mógł przestać myśleć o prawdopodobieństwie.

Swoje przemyślenia Pascal postanowił skonsultować z Fermatem. Nigdy go osobiście nie spotkał, ale już wcześniej z nim korespondował (w sprawie logiki indukcji). Wymiana listów pomiędzy Pascalem i Fermatem dotycząca prawdopodobieństwa trwała cztery letnie i jesienne miesiące 1654 r. Korespondencja obejmuje w sumie sześć listów. Niestety, pierwszy z nich się nie zachował. Biograf Pascala William R. Shea pisze:

Jeżeli nawet pani Fortuna urodziła się w nieco podejrzanej atmosferze klubów hazardowych, to uzyskała potem szlachecki tytuł w fascynującej wymianie listów pomiędzy Pascalem a Fermatem (W.R.  Shea,  Designing  Experiments  and  Games  of  Chance).

Nie będziemy śledzić tej korespondencji. Wystarczy, jeżeli zwrócimy uwagę na jej główne osiągnięcia. W trakcie wymiany listów Pascal i Fermat wynaleźli trzy metody „oswajania przypadku”. Pierwsza była dziełem ich obydwu – jest to metoda kombinatoryczna. Dwóch graczy gra o wysoką stawkę. Warunki stawki są znane: trzeba zdobyć pewną liczbę punktów. Gra zostaje przerwana, gdy jeden z graczy w dotychczasowych rzutach zdobył 2/3 punktów, a drugi 1/3 punktów. Metoda polega na określeniu maksymalnej liczby rzutów potrzebnych do wskazania zwycięzcy. Następnie należy wyliczyć wszystkie możliwe serie wyników we wszystkich tych ciągach, a to już pozwoli wskazać zwycięzcę.

Pascalowi jednak nie podobało się żmudne wyliczanie wszystkich możliwości („kombinatoryka”) i dlatego zaproponował metodę, która bardzo pomysłowo omijała tę konieczność. Nazwał ją metodą oczekiwań. Nadal mamy przed sobą problem kawalera de Méré. Gra hazardowa zostaje przerwana i trzeba określić, jak podzielić stawki. Metoda Pascala polega na tym, żeby niepewną przyszłość jakoś zastąpić pewną teraźniejszością. Stawki wpłacane przez graczy do wspólnej puli przestają być ich własnością. Jak pisze Pascal, stawka jest ceną, którą gracz płaci za to, by móc się spodziewać wygranej. Jak długo gra się toczy, każdy gracz ma prawa do pewnej części pieniędzy znajdujących się w puli proporcjonalnie do dotychczasowych sukcesów w grze. Według tej proporcji należy podzielić stawkę, jeśli gra zostanie przerwana. Przypadek, który miałby zadecydować o wyniku w przyszłości, zostaje zastąpiony strategią podejmowania decyzji dotyczącej teraźniejszości. Oczywiście, tej strategii – podobnie jak innym wypracowanym w korespondencji – towarzyszyły przykłady i techniki rachunkowe pozwalające przedstawić wyniki w postaci liczbowej. Do tego celu Pascal obficie posługiwał się swoim słynnym trójkątem arytmetycznym (zwanym dziś trójkątem Pascala).

Trzecia metoda, metoda bezpośredniego prawdopodobieństwa (nazwana tak później; w korespondencji nigdzie nie pada słowo „prawdopodobieństwo”), została zaproponowana przez Fermata. Sprowadza się ona do wyliczenia wszystkich możliwości, które mogą się zdarzyć, i przypisania każdej z nich wielkości ułamkowej, którą dziś nazwalibyśmy prawdopodobieństwem danego zdarzenia.

W jakim sensie korespondencję między Pascalem a Fermatem można uznać za zapoczątkowanie dzisiejszego rachunku prawdopodobieństwa? W takim sensie, w jakim zaczynają się wszystkie teorie matematyczne.

Najpierw jest jakiś problem do rozwiązania. Potem – zależnie od różnych okoliczności historycznych – po rozmaitych próbach i mniej lub bardziej udanych przybliżeniach pojawiają się skuteczne metody rachunkowe. Zwykle musi upłynąć dość dużo czasu, zanim zostaną one wkomponowane w elegancką strukturę matematyczną. Teoria staje się dojrzała, gdy tego rodzaju struktura matematyczna zaczyna twórczo oddziaływać z innymi strukturami matematycznymi. W 1654 r. Pascal napisał list do Paryskiej Akademii, w którym przedstawił swoje wyniki dotyczące gier losowych. Łączą one, jak pisał, przypadkowości losu ze ścisłością geometrii i nie zawahał się ich nazwać „geometrią przypadku”, ale droga do pełnej matematycznej teorii będzie jeszcze długa.

Logika z Port Royal

Pewien dostojny człowiek w rozmowie z młodzieńcem (którym był Honoré d’Albert, duc de Chevreuse) wspomniał, że gdy sam był młody, spotkał kogoś, kto w ciągu piętnastu dni nauczył go prawie całej logiki. Przysłuchiwał się tej rozmowie inny człowiek, który nie miał zbyt wielkiego poważania dla logiki, i zauważył, że on sam podjąłby się to zrobić w ciągu czterech lub pięciu dni. Wyzwanie zostało podjęte. Ale już przy sporządzaniu pierwszego szkicu, o czym należałoby powiedzieć, okazało się, że jest tyle ciekawych rzeczy i nowych spostrzeżeń, iż byłoby wielką szkodą niezrobienie bardziej dokładnych notatek. Powstała z nich książka La logique, ou l’art de penser, zwana popularnie „Logiką z Port Royale”. Jej pierwsze wydanie miało miejsce w 1662 r. (wkrótce miało ono dwa dodruki) i do roku 1683 ukazało się aż pięć wydań. Bardzo szybko książka została przetłumaczona na wszystkie ważniejsze języki europejskie.

W 1652 r. młodsza siostra Pascala, Jacqueline, wstąpiła do klasztoru Port Royale, a wkrótce potem – dokładnie 23 listopada 1654 r. – sam Pascal doznał wielkiego przeżycia mistycznego, które odmieniło jego życie. Wszystko to utrwaliło jego związek ze środowiskiem Port Royal. Było ono intelektualnie twórczym środowiskiem o silnych tendencjach jansenistycznych. W tym środowisku powstała Logika, czyli sztuka myślenia. Początkowo było to dzieło anonimowe, ale wkrótce nazwiska jego autorów stały się znane. Byli nimi: Antoine Arnauld i Pierre Nicole, do dziś nie wiadomo jednak, jaki był udział każdego z nich. Wpływ Pascala jest także pewny. Niewykluczone, że niektóre partie napisał on sam.

Zgodnie z pierwotnym pomysłem książka miała być rodzajem podręcznika. Forma ta została utrzymana, ale w znacznie rozszerzonej formule: już nie skrót do nauczenia się w ciągu kilku dni, lecz raczej obszerny przewodnik po sztuce myślenia, który miałby towarzyszyć młodemu człowiekowi przez całe życie. Przewodnik znacznie wychodził poza to, co wówczas uważano za logikę. Obejmował także szereg porad, jak poruszać się w świecie myśli, gdy wobec braku innych przesłanek trzeba podejmować decyzję w oparciu o częściowe racje. Zapewne właśnie dzięki temu „Logika z Port Royal” zyskała ogromną popularność.

Inspiracje i treść

W całej książce rzucają się w oczy jej religijne inspiracje. Duch pobożności panujący w środowisku Port Royal przebija niemal ze wszystkich stron i często z podtekstów wychodzi na powierzchnię. Autorzy, przeniknięci wiarą religijną, zdają sobie sprawę z tego, że nie zawsze może się ona odwoływać do rozstrzygających argumentów rozumowych i właśnie wtedy należy stosować inne typy uzasadnień. Nawet gdy w analogicznych sytuacjach w „świeckim kontekście” autorzy poszukują właściwej strategii, dość wyraźnie wyczuwa się, skąd płyną inspiracje. Książka składa się z czterech części: pierwsza mówi o ideach, druga – o sądach, trzecia – o rozumowaniach. Czwarta nosi tytuł O metodzie i po wstępnych uwagach na temat nauki w ogóle koncentruje się na dość szeroko pojętych metodach analizy i syntezy.

Książka jest niewątpliwie interesująca pod wieloma względami, ale raczej nie znalazłaby w rozważaniach na temat dziejów prawdopodobieństwa, gdyby nie kilka ostatnich rozdziałów czwartej części. Ciekawe, że w rękopisie przechowywanym w Bibliothèque Nationale w Paryżu nie ma tych rozdziałów; nie ma ich także w spisie treści. Wygląda na to, że zostały one dodane w ostatniej chwili przed oddaniem do druku. Przegląd ich treści pozwala przy- puszczać, że Pascal miał w nich także pewien udział. W rozdziałach tych jest mowa o poznaniu opartym na wierze. Wiara może być świecka (humaine) lub religijna (divine). W obu tych przypadkach odwołujemy się do pewnych argumentów, które – jeśli poznanie ma być racjonalne – należy odpowiednio „wyważyć”. Analizy te, odwołujące się do wiary w sensie religijnym, ustaliły pewien wzorzec powtarzany potem w różnych wariantach w wielu traktatach i podręcznikach teologicznych (w dziale zwanym apologetyką, dziś – teologią fundamentalną). Analizy odwołujące się do wiary w sensie świeckim można uznać za prekursorskie w stosunku do – jak zauważa Ian Hacking w The Emergence of Probability – późniejszej logiki wnioskowań niededukcyjnych, czyli takich, w których pewność wynikania musi być zastąpiona pewnym stopniem prawdopodobieństwa.

Tu właśnie pojawia się kluczowe dla naszych rozważań słowo „prawdopodobieństwo”. Hacking pyta: kiedy to słowo pojawiło się po raz pierwszy na oznaczenie czegoś, „co da się mierzyć”? W korespondencji Pascala z Fermatem słowo „prawdopodobieństwo” w tym znaczeniu nigdzie nie padło. Nastąpiło to właśnie tu, w końcowych rozdziałach „Logiki z Port Royal”. W rozdz. 14 czytamy, że gdy nie możemy mieć w jakiejś kwestii całkowitej pewności, a musimy opowiedzieć się za jakąś stroną, „winniśmy przyjąć stanowisko najbardziej prawdopodobne, ponieważ przyjęcie mniej prawdopodobnego byłoby zaprzeczeniem racjonalności (un renversement de la raison)”. W wielu przypadkach (prawnych, medycznych, z życia codziennego) wystarczy odwołać się do zdrowego rozsądku i obiektywnego rozważenia wszystkich okoliczności, ale istnieją sytuacje, w których możemy podać liczbową miarę tego prawdopodobieństwa. Któż na przykład nie chciałby wygrać w grze losowej?

Wyobraźmy sobie, że dziesięć osób bierze udział w grze. Każdy stawia jedno écu. Kto wygra, zabiera wszystko. Większość ludzi uznałaby, że gra się opłaci, bo straci się najwyżej jedno écu, a można wygrać dziesięć, ale trzeba wziąć pod uwagę, że dla każdego gracza prawdopodobieństwo wygranej jest dziewięć razy mniejsze niż prawdopodobieństwo przegranej, co całkowicie równoważy to, że do przegrania jest jedno écu, a do wygrania dziewięć. I dlatego gra jest sprawiedliwa, wszyscy mają jednakowe szanse. Wniosek jest następujący:

aby ocenić, co należy czynić, by osiągnąć dobro lub uniknąć zła, nie wystarczy tylko dobro lub zło same w sobie, lecz również prawdopodobieństwo tego, co może się zdarzyć lub nie i trzeba wziąć pod uwagę proporcje w sensie geometrycznym wszystkich tych rzeczy razem (Logique de Port-Royal).

Jest to już bardzo wyraźny program przypisywania różnym zdarzeniom prawdopodobieństw wyrażanych za pomocą „geometrycznych proporcji”, czyli w sensie liczbowej miary. Można tu dostrzec wyraźny ślad lwiego pazura Pascala. Ostatnie akapity „Logiki” wzywają czytelnika, by w życiu nie kierował się pozorami, lecz krytycznym oszacowywaniem prawdopodobieństw różnych zdarzeń. Zasada „jeżeli z daną sprawą wiąże się strata, to sprawa jest zła; jeżeli korzyść – dobra” jest złudna, ponieważ „oceny nie należy dokonywać ani za pomocą straty, ani za pomocą zysku, lecz za pomocą proporcji, jaka pomiędzy nimi zachodzi” (Logique de Port-Royal)

Proporcje te mogą być bardzo wyrafinowane. Może się tak zdarzyć, że bardzo mały zysk przeważy wielki zysk, jeżeli ten pierwszy zdarza się bardzo często, a ten drugi tylko wyjątkowo.

Tak jest wśród rzeczy skończonych, zupełnie inaczej w sprawach dotyczących „rzeczy nieskończonych, takich jak wieczność i zbawienie”, nie można ich bowiem porównać z żadnym zyskiem doczesnym, żadna z rzeczy tego świata nie może ich zrównoważyć: „naj- mniejszy stopień wysiłku, by osiągnąć zbawienie, znaczy więcej niż wszystkie dobra świata razem wzięte” (Logique de Port-Royal).

„Zakład”

W tym miejscu nie można nie wspomnieć o słynnym „zakładzie” Pascala. Jeżeli istnieją wątpliwości, czy ostatnie rozdziały „Logiki z Port Royal” pochodzą od Pascala, to wiadomo na pewno, że jest on autorem „zakładu”. „Zakład” znajduje się w jego Myślach – zbiorze refleksji zgromadzonych w jedną całość z rozmaitych notatek pozostawionych przez autora. Niewykluczone, że niektóre fragmenty miały potem być rozbudowane i wejść jako części do planowanej Apologii religii chrześcijańskiej, ale tego zamiaru Pascal nigdy nie zrealizował. Istotę „zakładu” można streścić następująco:

Stoję przed wyborem: albo jest Bóg, albo nie ma Boga. Jeżeli wybiorę „Bóg jest”, a Boga nie ma, ryzykuje skończonym życiem. Jeżeli wybiorę „Boga nie ma”, a Bóg jest, ryzykuję nieskończoną wiecznością.

Rzecz mało znana, że Pascal miał swego średniowiecznego poprzednika. Crombie cytuje historię duchownego z XII w., który na łożu śmierci oświadczył, że nie wierzyłby w przyszłe zmartwychwstanie, gdyby nie przekonały go argumenty oparte na prawdopodobieństwie. Duchowny ten był

przekonany, że nie może ponieść straty, wierząc w swe zmartwychwstanie, ponieważ, o ile byłaby to prawda, nie ryzykowałby swego zbawienia przez brak wiary, a jeśli nie – to nigdy by się o tym nie dowiedział (A.C Crombie, Style myśli naukowej w początkach nowożytnej Europy).

Oryginalny tekst „zakładu” Pascala znajduje się na dwu ręcznie zapisanych kartkach i zawiera wiele przekreśleń i poprawek. Ogromne zainteresowanie tym tekstem sprawiło, że każda kropka atramentu na nim została poddana dokładnej analizie przez badaczy. W opublikowanych wersjach Myśli „zakład” znajduje się we fragmencie zatytułowanym Nieskończoność – nic? Rozumowanie zostało zapisane w postaci dalekiej od językowej ścisłości. Ma ono wyraźnie charakter notatek sporządzanych na gorąco. Miejscami przyjmuje postać dialogu z oponentem. Przyjrzyjmy się „zakładowi” nieco dokładniej.

Najpierw bezpośredni kontekst. Pascal zastanawia się nad stosunkiem skończoności do nieskończoności i odnosi tę relację do naszego stosunku do Boga:

Jedność dodana do nieskończoności nie pomnaża jej ani o włos tak jak stopa dodana do nieskończonej miary. Skończoność unicestwia się w obliczu nieskończoności i staje się czystą nicością. Tak nasz duch w obliczu Boga…

Jeżeli Bóg jest nieskończony, „jesteśmy tedy niezdolni pojąć, ani czym jest, ani czy jest”. Ale chrześcijanie wierzą, że Bóg jest. Czyż więc ich wiarę należy uznać za „głupstwo” (stultitia)? Tekst, który potem nastąpi, ma być odpowiedzią na to pytanie, jest więc rodzajem apologetyki, próbą wykazania, że wiara chrześcijan nie jest irracjonalna. Oto dalsze rozumowanie Pascala:

Zbadajmyż ten punkt i powiedzmy: „Bóg jest albo Go nie ma”. Ale na którą stronę się przechylimy? Rozum nie może tu nic określić: nieskończony chaos oddziela nas. Na krańcu tego nieskończonego oddalenia rozgrywa się partia, w której wypadnie orzeł czy reszka. Na co stawiacie?

Pascal już w pewnym sensie cel swój osiągnął: wykazał, że wiara chrześcijan w Boga nie jest irracjonalna, a w każdym razie nie mniej racjonalna niż wiara tych, którzy odrzucają istnienie Boga („nie zarzucajcie tedy błędu tym, którzy uczynili wybór, bo nie wiecie”). Jak w grze rzucania uczciwą monetą: orzeł czy reszka, fifty-fifty. Ale Pascal drąży dalej.

W sytuacji niezdecydowania najlepiej w ogóle nie czynić wyboru („słusznie jest nie zakładać się w ogóle”). Wyboru jednak nie da się uniknąć: „Tak, ale trzeba się zakładać; to nie jest rzecz dobrowolna, zmuszony jesteś”. Jesteś zmuszony w sensie, że nie dokonać wyboru byłoby czymś irracjonalnym. Oto jądro rozumowania:

Zważmy zysk i stratę, zakładając się, że Bóg jest. Rozpatrzmy te dwa wypadki: jeśli wygrasz, zyskujesz wszystko; jeśli przegrasz, nie tracisz nic.

Rozumowanie to budziło (i nadal budzi) wiele emocji i to z obydwu stron: jedni widzą w nim skuteczną apologetykę, inni nadużycie logiki dla celów propagandy religijnej. Nie będziemy się wdawać w te polemiki. Rozumowanie Pascala można rozpatrywać z kilku punktów widzenia: (1) pod kątem logicznej poprawności, (2) jako schemat podejmowania decyzji, (3) jako strategię w duchu teorii gier. Oczywiście, wszystkie te punkty widzenia są ze sobą ściśle powiązanie. Podjęcie decyzji nie może być trafne, jeżeli jest oparte na błędzie logicznym. Teoria gier także musi szanować logikę. Jak wspomniałem, zapis Pascala jest daleki od językowej precyzji, ale można dokonać jego logicznej rekonstrukcji i w ten sposób przekonać się o jego poprawności. Hacking dokonuje aż trzech takich rekonstrukcji (w oparciu o różne schematy decyzyjne) i we wszystkich trzech przypadkach stwierdza logiczną poprawność rozumowania. Uważa jednak, że – mimo to – argument Pascala nie jest przekonywający, ponieważ opiera się na „co najmniej wątpliwych przesłankach”. Twierdzi, że żaden dzisiejszy agnostyk nie zmieniłby swoich przekonań z powodu argumentacji Pascala. Najbardziej wątpliwą przesłanką tej argumentacji jest – zdaniem Hackinga – dychotomia: jeżeli nie wierzysz w Boga, a Bóg jest, będziesz potępiony – jeżeli Bóg jest i wierzysz w Niego, będziesz zbawiony. Istotnie, zakwestionowanie tej przesłanki narusza wynikanie w rozumowaniu Pascala, ale jeżeli ktoś tylko na tej podstawie buduje swój agnostycyzm, to myślę, że Pascal osiągnął swój cel. Jak zwykle w takich przypadkach istotną rolę odgrywają nie formalno-dedukcyjne detale, lecz egzystencjalna waga argumentu.

Huygens – jak oczekiwać wygranej?

Wróćmy jednak z wyżyn, na które nas zaprowadził Pascal, do znacznie niższych stawek. Następny krok w drodze do współczesnego rachunku prawdopodobieństwa należy do Christiana Huygensa. Będąc w Paryżu w 1655 r., zapoznał się on z wynikami osiągniętymi przez Pascala i Fermata w dziedzinie teorii gier losowych i zainteresował się tą tematyką. Wkrótce potem na prośbę Fransa van Schootena, matematyka i wydawcy, napisał po holendersku rozprawę pt. Van Rekeningh in Spelen van Geluck. Van Schooten po wstępnych uzgodnieniach z Huygensem przetłumaczył tę rozprawę na łacinę i wydał drukiem w 1657 r. Nosi ona tytuł De ratiociniis in ludo aleae. Holenderska wersja dzieła ukazała się dopiero w 1660 r.

Kluczowym pojęciem w analizach Huygensa jest pojęcie oczekiwania (expectatio). Z psychologicznego punktu widzenia takie postawienie sprawy jest uzasadnione: gracz, przystępując do gry hazardowej, oczekuje wygranej. Huygensowi chodziło jednak nie o subiektywne przeżycia gracza, lecz o pojęcie, które pozwoliłoby do przewidywań związanych z grami hazardowymi wprowadzić element ilościowy. Dzisiejszego pojęcia prawdopodobieństwa jeszcze nie znano (bo wzmiankę w „Logice z Port Royal” trudno uznać za powszechną znajomość) i oparcie rachunków na expectatio było ważnym osiągnięciem. Dziś w rachunku prawdopodobieństwa pojęcie oczekiwania także występuje w różnych kontekstach. Na przykład, jeżeli wielokrotnie rzucamy (uczciwą) kostką do gry, to łatwo wyliczyć, że średni wynik będzie bliski liczbie 3,5. Liczbę tę nazywamy (średnią) wartością oczekiwaną wielokrotnego rzutu kostką. Współczesnego pojęcia oczekiwania nie można jednak narzucać Huygensowi. Tym bardziej że van Schooten niezbyt dokładnie przetłumaczył holenderskie kansse na sors seu expectatio. Wyraz expectatio (który w gruncie rzecz zawdzięczamy van Schootenowi, a nie Huygensowi) w sensie, jaki zamierzył Huygens, jest bliski dzisiejszemu znaczeniu wartości oczekiwanej, ale jednak różny od niego. Zaraz na początku swojego traktatu Huygens opisuje następującą sytuację. Ktoś jest zaangażowany w grę losową, ale w pewnym momencie chce sprzedać swoje miejsce w grze komuś innemu. Jakiej sumy powinien zażądać? Oto odpowiedź Huygensa: powinien zażądać tyle, ile jest warte oczekiwanie wygranej, a oczekiwanie (sors seu expectatio) wygranej jest warte takiej sumy, jakiej można oczekiwać w uczciwym zakładzie. Na przykład ktoś w jednej ręce ukrywa 3 szylingi, a w drugiej 7 szylingów i pozwala mi wybrać „w ciemno”. Jaką mam szansę, czyli ile jest wart mój wybór? Odpowiedź Huygensa brzmi: (3+7)/2 szylingi, czyli 5 szylingów. Wartość ta jest równa w tym konkretnym przypadku naszej średniej wartości oczekiwanej, ale pojęcie jest jeszcze uwikłane w konkretną sytuację i pozbawione przejrzystej definicji. Jeśli nawet van Schooten niezbyt dokładnie przetłumaczył holenderski wyraz użyty przez Huygensa, była to raczej szczęśliwa niedokładność. Taka terminologia przyjęła się i prowadziła dalsze rozważania o grach losowych we właściwym kierunku.
 

Artykuł zredagowany z fragmentów książki ks. prof. Michała Hellera Filozofia przypadku. Kosmiczna fuga z preludium i codą (Copernicus Center Press, Kraków 2012).

Autor artykułu

Kosmolog, filozof i teolog. Profesor nauk filozoficznych, specjalizuje się w filozofii przyrody, fizyce, kosmologii relatywistycznej oraz relacji nauka-wiara. Kawaler Orderu Orła Białego....

Dodaj komentarz

Usługodawca nie ponosi odpowiedzialności za treści zamieszczane przez Użytkowników w ramach komentarzy do Materiałów udostępnianych przez Usługodawcę.

Zapoznaj się z Regułami forum
Jeśli widzisz komentarz naruszający prawo lub dobre obyczaje, zgłoś go klikając w link "Zgłoś naruszenie" pod komentarzem.

Zaloguj się albo zarejestruj aby dodać komentarz